La teoría de los conjuntos y la teoría de los sistemas formales

Se puede evidenciar en la lectura que Noam Chomsky hace referencia al uso de la matemática, encontramos por un lado : 'La teoría de los conjuntos': La palabra conjunto generalmente la asociamos con la idea de agrupar objetos, por ejemplo un conjunto de discos, de libros, de plantas de cultivo y en otras ocasiones en palabras como hato, rebaño, piara, parcelas, campesinado, familia, etc., es decir la palabra conjunto denota una colección de elementos claramente entre sí, que guardan alguna característica en común. Ya sean números, personas, figuras, ideas y conceptos.

En matemáticas el concepto de conjunto es considerado primitivo y ni se da una definición de este, sino que se trabaja con la notación de colección y agrupamiento de objetos, lo mismo puede decirse que se consideren primitivas las ideas de elemento y pertenencia.

La característica esencial de un conjunto es la de estar bien definido, es decir que dado un objeto particular, determinar si este pertenece o no al conjunto. Por ejemplo si se considera el conjunto de los números dígitos, sabemos que el 3 pertenece al conjunto, pero el 19 no. Por otro lado el conjunto de las bellas obras musicales no es un conjunto bien definido, puesto que diferentes personas puedan incluir distintas obras en el conjunto.

Los objetos que forman un conjunto son llamados miembros o elementos. Por ejemplo el conjunto de las letras de alfabeto; a, b, c, ..., x, y, z. que se puede escribir así:

{ a, b, c, ..., x, y, z} 

Como se muestra el conjunto se escribe entre llaves ({}) , o separados por comas (,).

El detallar a todos los elementos de un conjunto entre las llaves, se denomina forma tabular, extensión o enumeración de los elementos.

Por otro lado, también encontramos 'La teoría de los sistemas formales': Un sistema formal es un tipo de sistema lógico-deductivo constituido por un lenguaje formal, una gramática formal que restringe cuales son las expresiones correctamente formadas de dicho lenguaje y las reglas de inferencia y un conjunto de axiomas que permite encontrar las proposiciones derivables de dichos axiomas. Los sistemas formales también han encontrado aplicación dentro de la informática, la teoría de la información, y la estadística, para proporcionar una definición rigurosa del concepto de demostración. La noción de sistema formal corresponde a una formalización rigurosa y completa del concepto de sistema axiomático, los cuales pueden ser expresados en lenguaje formal o en lenguaje natural formalizado.

Llamamos formalización al acto de crear un sistema formal, con la que pretendemos capturar y abstraer la esencia de determinadas características del mundo real, en un modelo conceptual expresado en un determinado lenguaje formal.

Conviene subrayar que lo dicho anteriormente se refiere principalmente a la teoría lingüística general y al estudio abstracto de los sistemas gramaticales. Chomsky no se cansa de repetir que la lingüística es una disciplina empírica en la que no tiene cabida el apriorismo mas o menos dogmático. 

Entonces, es preciso haber adquirido una cierta facilidad en el manejo de los símbolos y la práctica suficiente en la manipulación de las convenciones notacionales. Al valorar la importancia y conveniencia de que el lingüista tenga una formación lógico-matemática cumple poner especial cuidado, porque una cosa es aplicar los hallazgos y técnicas de la lógica mas reciente para formular una teoría clara y rigurosa y otra muy distinta suponer que la lógica (u otro sistema formal cualquiera) pueda servir de modelo para la actuación lingüística del hablante.

Una cosa es un sistema matemático artificial, y otra muy distinta es un sistema lingüístico natural; una cosa la lógica formalizada y otra muy distinta la lingüística formalizada.

Ejemplo:

Las oraciones: 'El hombre es alto y delgado' - 'La bandera es negra y roja' parecen del todo similares; de la primera cabe inferir lógicamente que el hombre es alto, pero de la segunda oración no cabe inferir que la bandera en negra. Cabría dar otros muchos ejemplos para poner de manifiesto que la inferencia de la lógica tiene poco que brindar a la lingüística.

El hecho de que ciertas reglas lógicas puedan ser expresadas en términos puramente ''sintácticos'' ha contribuido mucho y seguirá contribuyendo al progreso de las investigaciones sobre lógica y fundamentos de la matemática, pero eso no asegura una contribución directa al progreso de la lingüística.

Un lingüística construye sistemas artificiales en el sentido en que el físico describe el comportamiento de los objetos en un mundo artificial. Se habla entonces de un SISTEMA ARTIFICIAL CARNAPIANO. Los sistemas artificiales no son ni casos especiales, ni versiones idealizadas de lenguas naturales. La mención de términos como modelo y sistema formal exige una cierta elaboración dada la importancia que han adquirido y la variedad de opiniones.

Ejemplo:

Para un ingeniero, por ejemplo ''modelar'' un sistema quiere decir construir un aparato que se asemeje a ese sistema; para un matemático, por el contrario, ''modelar''un sistema significa captar algunas de las propiedades fundamentales de ese sistema y darles expresión matemática.